唐朝鼎盛时期管理西域的军政机构是：

正确答案：A

花生十三方法解析

关键词定位。定位关键词'唐朝''管理西域''机构'。史实对应：唐设安西都护府和北庭都护府管辖西域军政事务，A正确。宣政院是元代管吐蕃机构，排除B；伊犁将军是清代所设，排除C；理藩院是清代管边疆民族事务机构，排除D。确认答案为A。

原解析

唐朝鼎盛时期管理西域的军政机构是安西都护府，下辖西域州县。A项符合唐代边疆管理；B项宣政院辖西藏，C项伊犁将军府为清代，D项理藩院管蒙古，故A项正确。