1861年清政府设立的外交机构是：

正确答案：C

花生十三方法解析

本题用常识判断-关键词定位法（总理衙门）。1861年清政府设立的外交机构是总理各国事务衙门：中国近代外交机构的开端。外务部是1901年由其改设，理藩院管边疆民族事务，鸿胪寺管朝会礼仪，均不符。故选C。

原解析

1861年清政府设立的总理各国事务衙门是近代中国第一个专门外交机构，负责办理对外交涉事务，因此C项正确。A项错误，外务部1901年才设立并非其前身；B理藩院管边疆民族事务，D鸿胪寺负责朝会礼仪，均不属于外交机构。