1861年清政府设立的近代外交机构是：

正确答案：C

花生十三方法解析

本题用关键词定位+排除法。1861年清政府设立总理各国事务衙门（总理衙门）：第二次鸦片战争后为办理对外交涉而设，是中国近代第一个正式外交机构，1901年改为外务部。排除：A鸿胪寺掌朝会礼仪；B理藩院管理蒙藏等边疆民族事务；D市舶司是唐宋以来管理海外贸易的机构，均非近代外交机构。确认答案为C。

原解析

1861年清政府设立的近代外交机构为总理各国事务衙门。A、B、D项均为传统机构，不属于近代外交范畴，C项正确。本题考点为清朝外交制度变革。