1861年设立的总理各国事务衙门的职能是：

正确答案：D

花生十三方法解析

本题用常识判断-关键词定位法（总理衙门）。1861年设立的总理各国事务衙门：办理对外交涉、通商、关税等洋务事宜，是清政府第一个正式外交机构，1901年改为外务部，D项。宗人府事务、科举主考、河道治理均另有专门机构。故选D。

原解析

总理各国事务衙门是清政府为应对第二次鸦片战争后外交事务而设，专办对外交涉、通商、关税等洋务事宜，故D正确。A、B、C均属传统内政职能，与洋务无关。